什么是方差分析（ANOVA）？
方差分析（ANOVA）是一种用于比较三个或更多组平均值的统计方法。
当待比较的组别可由单一分组因子定义，且各组中的数值在其他组中不重复或不匹配时，通常使用普通单向方差分析（ANOVA）（有时也称为单因素方差分析）。 例如，您可能希望将对照组与药物治疗组以及同时接受药物和拮抗剂治疗的组进行比较。 或者，您可能希望比较五个组，每个组服用不同的药物。对于这种检验，您需要从仅被分配到一个组的参与者（且与其他组的参与者没有任何匹配关系）那里获取测量数据。 对于上述每种情况，都对数据采样的分布有相应的假设，Prism 能够分析从高斯分布或对数正态分布中采样的数据。指定分析应采用哪种分布会改变某些值的计算方式，但通常结果的解读是相似的。
•为何称为“普通”？这是一个统计学术语，意指数据并非成对或配对的。对成对或配对数据的分析则采用“重复测量方差分析”或“混合模型”方差分析。
•为什么是“单因素”？因为数据是按一种方式（即一个因素）进行分类的。在本示例中，该因素是药物治疗。双因素设计则会根据两个分组因素对数据进行分组。例如，可以分别对三种治疗方案（药物治疗）在男性和女性（性别）中进行测试。
•为什么叫“方差”？方差是量化变异的一种方式。方差分析（ANOVA）通过比较（“分析”）组内变异与组平均值变异来工作。 对于从正态分布中抽取的一组数据，其方差等于标准偏差的平方。稍后我们将看到，这等于各数据值的平方和除以自由度。
方差分析（ANOVA）的工作原理
方差分析（ANOVA）通过比较组内变异与组平均值间变异来工作。这些描述既适用于从正态分布中抽样的数据，也适用于从对数正态分布中抽样的数据，但有一个注意事项：若要将这些步骤和描述应用于从对数正态分布中抽样的数据，应先对数据进行对数转换。 无需手动执行此变换（无论是在Prism中还是提前进行）。当在分析的实验设计中指定假设数据服从对数正态分布时，Prism会在后台自动处理必要的变换。
对数正态性方差分析的区别
解读单向方差分析需要假设所有值均来自正态（高斯）分布。从 Prism 10.5 开始，Prism 提供了执行对数正态单向方差分析的选项。 该分析与常见的单向方差分析相关，但假设所分析的数据采样自对数正态分布，而非正态分布。由于对数正态分布中不可能出现零值和负值，因此任何待分析数据集中若存在此类值，都将排除进行对数正态方差分析的可能性。
对数正态方差分析的运作原理是：首先将所有值转换为对数。然后，根据本页所述的方法，对这些转换后的数据进行方差分析。Prism 会自动执行此转换（您无需在 Prism 或其他应用程序中对数据进行转换）。 本页其余部分解释的结果，其对对数正态方差分析的解读方式与对常规方差分析的解读方式相同。但您必须非常清楚：该分析是基于数据的对数进行的！
在作为对数正态方差分析（ANOVA）的一部分进行多重比较检验时，这些多重比较的结果会转换回数据的原始量表（同样，此过程也是自动完成的）。 Prism 不会在多重比较结果中显示对数均值之间的差异，而是提供几何均值、这些几何均值的比值以及该比值的 95% 置信区间。
您可以通过关于该主题的深入综述进一步了解对数正态分布和对数正态方差分析：HJ Motulsky、T Head、PBS Clarke，2025，《对数正态数据分析：非数学实践指南》。即将出版。《药理学评论》
执行和解读对数正态方差分析的关键要点：
•一组值的几何均值等于其对数转换后值的均值
•计算两个几何均值的比值，在数学上等同于计算对数转换后几何均值之间的差值
•对数正态方差分析的平方和是基于对数转换后的数据（因此也基于对数转换后数据的均值）计算的
•Prism 会自动将分析结果转换回数据的原始量表，因此您无需对结果进行任何其他数据处理
平方和
方差分析（ANOVA）的第一步是计算数据中的平方和，并将其划分为三个部分：
1.总平方和。这是每个值与所有数据总体均值之间差值的平方之和。有时称为 SST
2.组内平方和。首先计算每个值与其所属组平均值之间差值的平方和。 然后将这些值（所有组别）相加。这被称为“列内”平方和，有时也称为误差平方和（SSE）或组内平方和（SSW）
3.组间平方和。对于每个组，计算该组平均值与数据总体均值之间差值的平方。 然后将这些值乘以相应组的样本量，再将这些值相加。这被称为“列间”平方和，有时也称为回归平方和（SSR）或组间平方和（SSB）
毫不奇怪，组内平方和与组间平方和相加等于总平方和。
另一种理解方式是：组间平方和代表由处理因素引起的变异性，而组内平方和则是不同个体样本中预期会出现的普遍变异性。
均方
这些平方和值各自对应着一定的自由度（df，由受试者数量和组数计算得出）。均方值的计算方法是将每个平方和除以相应的自由度。 这些值可以视为方差（类似于上文的定义，即方差是标准偏差的平方）。与平方和值不同，组内均方和组间均方的和并不等于总均方（总均方很少被计算）。
零假设
要理解 P 值（见下文），首先需要明确零假设。
对于对来自正态分布的数据进行的单向方差分析，零假设是：样本值的总体均值均相同。此外，该分析还假设这些总体的方差（标准偏差）相等。
对于对来自对数正态分布的数据进行的单向方差分析，零假设是：样本值的母体均具有相同的几何均值。此外，该分析还假设这些母体的几何标准偏差相等。
F统计量（F比）
方差分析（ANOVA）的F统计量是组间均方除以组内均方的比值。
如果零假设成立，则预期组间方差与组内方差大致相等。换言之，如果零假设成立，则预期F统计量接近1.0（即组间方差与组内方差大致相等）。 另一方面，如果组别分配（在本示例中即药物治疗）确实对测量结果产生了影响，那么组间方差预计会大于组内方差。因此，F统计量预计会大于1.0。
P值
P值是根据F比值计算得出的，同时会考虑观测值数量和组数。
单向方差分析
回顾一下，单向方差分析的零假设是：对于从正态分布中抽取的数据，所有总体均值均相等。P值回答了以下问题：
如果总体P值较大，则数据无法为您提供任何依据来推断这些总体的均值存在差异。即使它们原本相等，仅因随机因素导致样本均值出现如此大的差异，您也不会感到意外。这并不等同于说真实均值是相同的，只是您没有令人信服的证据表明它们存在差异。
对于从对数正态分布总体中抽取的数据：如果总体P值较大，数据并不能为您提供任何理由来推断这些总体的几何均值存在差异。 即使它们相等，仅凭偶然性就出现如此极端的样本几何均值比值，您也不会感到惊讶。这并不等同于说真实几何均值是相同的。您只是没有令人信服的证据表明它们不同。
如果总体 P 值极小：则可推断，数据所抽样的总体几何均值不太可能相等。这并不意味着每个几何均值都与其他所有几何均值不同，仅表明至少有一个几何均值可能与其他几何均值不同。应查看多重比较检验的结果，以确定差异可能出现在何处。
当然，这些结论只是暂时的，随机抽样可能会导致双向误差。
对数正态单向方差分析
回顾一下，对数正态单向方差分析的零假设是：所有总体的几何均值均相等。
P值回答了以下问题：
对于从对数正态分布总体中抽取的数据：如果总体P值较大，则这些数据无法让您得出各总体的几何均值存在差异的结论。 即使它们相等，仅凭偶然性就出现如此极端的样本几何均值比值，也不会令人感到意外。这并不等同于说真实的几何均值是相等的。您只是没有令人信服的证据表明它们存在差异。
如果总体 P 值很小：则可得出结论，数据所抽样的各总体的几何均值不太可能相等。这并不意味着每个几何均值都与其他所有几何均值不同，它仅表明至少有一个几何均值可能与其他几何均值不同。 请查看多重比较后续检验的结果，以确定差异可能出现在哪里。
当然，这些结论只是暂时的，随机抽样可能会导致两种方向的误差。
等方差检验
在分析来自正态分布总体的样本数据时，方差分析（ANOVA）基于这样一个假设：数据所抽样的各总体具有相同的方差。由于方差是标准偏差的平方，这相当于说它们具有相同的标准偏差。
对于从对数正态分布总体中抽取的数据，情况则稍显复杂。在这种情况下，假设是对数转换后各总体的方差相等。 这相当于说两个总体的几何标准偏差相同，但并不等同于说两个总体的方差相同（两个对数正态分布的总体可能具有相同的几何标准偏差，但方差不同）。
Prism 通过两种检验来检验这一假设。它会计算布朗-福赛斯（Brown-Forsythe）检验，并且（如果每个组至少有五个数据值）还会计算巴特利特（Bartlett）检验。这些检验是否运行没有可选设置。Prism 会自动执行并始终报告结果。
这两项检验均计算一个 P 值，旨在回答以下问题：
请不要将这些用于等方差检验的P值与用于检验均值相等的P值混淆。
巴特利特检验
Prism 报告了“校正”后的巴特利特检验结果，如 Zar(1) 第 10.6 节所述。 如果数据确实来自高斯分布（等效地，如果数据来自对数正态分布，并在运行此检验前经过对数转换；Prism 正是如此处理的），则巴特利特检验效果极佳。 但如果分布即使略微偏离这一理想情况，即使方差之间的差异微不足道，巴特利特检验也可能报告一个较小的P值。出于这个原因，许多人并不推荐该检验。这就是我们添加布朗-福赛斯检验的原因。 该检验与巴特利特检验的目标相同，但对偏离正态分布的轻微偏差不那么敏感。我们建议您关注布朗-福赛斯检验的结果，并忽略巴特利特检验（我们保留该检验是为了与 Prism 的早期版本保持一致）。
布朗-福赛思检验
布朗-福赛斯检验在概念上很简单。数据表中的每个值* 都会经过以下转换：先减去该列的中位数，再取该差值的绝对值。 对这些值进行单向方差分析（ANOVA），并将该方差分析得出的 P 值作为布朗-福赛思检验的结果。
其原理是什么？通过减去中位数，各中位数之间的差异已被消除，因此组间唯一的区别仅在于其变异性。
为什么减去中位数而不是各组的均值？如果减去的是列均值而不是列中位数，该检验就被称为莱文等方差检验。哪种方法更好？如果分布并非完全服从高斯分布，则取决于具体分布的性质。 来自多个统计学家团队的模拟结果表明，对于许多类型的非高斯数据，使用中位数效果良好。Prism 仅使用中位数（布朗-福赛思检验），而不使用均值（莱文检验）。
*对于对数正态单向方差分析，数据首先进行对数转换，然后对这些对数值运行布朗-福赛思检验和巴特利特检验。
结果解读
如果等方差检验的 P 值较小，则必须决定是结论为总体标准偏差（针对正态分布）不同，还是几何标准偏差（针对对数正态分布）不同。显然，这些检验仅基于本次实验中的数据。 在得出结论之前，请综合考虑其他类似实验的数据。
若您得出方差确实不同的结论，您有四种选择：
•推断总体不同。在许多实验情境中，确定分布形状不同（由正态分布的标准偏差和对数正态分布的几何标准偏差决定）与发现其位置不同（正态分布的均值或对数正态分布的几何均值）同样重要。 如果分布形状确实不同，那么无论方差分析（ANOVA）对位置差异得出何种结论，总体都是不同的。这可能是该实验最重要的结论。
•请确保您采用了适当的分布假设。如果您的数据是从对数正态分布中抽样的，那么在假设正态分布的情况下进行方差分析（ANOVA）将产生误导性的结果。对于其他变换（如倒数变换），您可以尝试对数据进行变换以使标准偏差相等，然后重新运行方差分析。
•使用不假设方差相等的单向方差分析（ANOVA）的韦尔奇（Welch）或布朗-福赛思（Brown-Forsythe）版本。
•改用非参数的Kruskal-Wallis检验。 这样做的问题在于，如果各组的标准偏差差异很大，Kruskal-Wallis检验的结果将难以解释。如果标准偏差差异很大，则分布形状也会大不相同，此时Kruskal-Wallis检验的结果不能被解释为对中位数的比较。
R²
单向方差分析报告的 R² 值表示总体方差（即所有数据，合并所有组）中可归因于组平均值之间差异的部分所占的比例。它将组平均值之间的变异性与组内的变异性进行比较。该值越大，表明变异中有很大一部分是由于定义各组的处理因素所致。 R²值根据方差分析表计算得出，等于组间平方和除以总平方和。具体而言，对于普通单向方差分析，该值等同于η²（eta平方），并定量描述了组别归属与所测量变量之间的关系强度。
标准效应量
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Prism 会为方差分析结果报告标准效应量，包括 η²（eta 平方）、偏 η²（ηp²）和科恩的 f 值。由于这些效应量适用于多种方差分析设计（单向方差分析、双向方差分析、三向方差分析及多因素方差分析； 普通设计和重复测量设计），关于这些效应量如何计算和解读的详细信息，请参阅专门的“理解方差分析效应量”页面。
多重比较检验
对于许多科学家而言，多重比较检验的结果比整体方差分析结果更为重要。请阅读关于在 Prism 中进行单向方差分析后进行多重比较检验的相关内容。
参考文献
J.H. Zar，《生物统计学分析》，2010年第五版，ISBN：0131008463。
