示例数据集

为了创建本示例，我输入了一组数据，该数据包含两行、三列，且每个单元格包含三个并列的重复测量值。由于没有缺失值，因此总共输入了 18 个数值。  

我从四个角度对数据进行了分析：假设无重复测量、假设重复测量且配对值堆叠、假设重复测量且配对值分布于一行，以及双向重复测量。下表采用颜色编码来解释这些设计。表中每种颜色代表一名受试者。不同表格间的颜色可能重复，但这没有任何特殊含义。

方差分析表

下表展示了这四种分析的方差分析（ANOVA）结果。下方的数值均由Prism软件生成。我对其进行了部分重组和重命名，以便将四组结果整合到一张表格中。

首先关注没有重复测量的“平方和”（SS）列：

•第一行显示行与列的交互作用。它量化了因行间差异在各列中表现不一致所导致的变异量。等效地，它量化了因列间差异在两行中表现不一致所导致的变异量。

•第二行显示了由两行之间的系统性差异所导致的变异量。

•第三行显示了由两列之间的系统性差异所导致的变异量。

•倒数第二行显示了其他行均无法解释的残差变异。这被称为残差或误差。

•最后一行显示了全部18个值之间的总变异量。

现在请观察针对同一数据但采用不同重复测量假设的分析结果中的“标准差”（SS）列。

•总方差（SS）保持不变。这合乎逻辑，因为它衡量的是这18个值之间的总变异量。

•在所有四种分析中，交互作用以及行和列的系统效应（前三行）的SS值均保持一致。

•当假设存在重复测量时，残差变异的SS值会变小，因为其中一部分变异可归因于受试者间的变异。在最后几列中，其中一部分变异也可归因于受试者与行或列之间的交互作用。

现在来看自由度（DF）的数值。

•总自由度（底行）为17。这是总数据个数（18）减去1。无论是否假设重复测量，该数值均保持不变。

•交互作用的自由度等于（列数 - 1）×（行数 - 1），因此本示例中为 2 × 1 = 2。无论是否采用重复测量，该值均保持不变。

•行间系统性差异的自由度等于行数减1，本示例中即为1。无论是否存在重复测量，该值均保持不变。

•列间系统性差异的自由度等于列数减1，本示例中即为2。无论是否存在重复测量，该值均保持不变。

•受试者的自由度等于受试者人数减去处理组数。 当配对数据堆叠时，共有9名受试者和3种处理方式，因此自由度为6。当配对数据位于同一行时，共有6名受试者接受两种处理方式（每行一种），因此自由度为4。当两个因素均存在重复测量时，该值等于受试者人数（3）减去1，因此自由度为2。

关于 SS 和 DF 的计算细节，可参见 Maxwell 和 Delaney (1)。第 576 页的表 12.2 解释了两个因素均含重复测量方差分析表。但请注意，他们使用术语“A x B x S”，而 Prism 软件中显示为“残差”。 第595页的表12.16解释了单因子重复测量方差分析的双因素方差分析表格。他们使用“B x S/A”表示Prism中的“残差”，并使用“S/A”表示Prism中的“受试者”。

均方

每个均方值是通过将平方和除以相应的自由度计算得出的。换言之，对于方差分析表中的每一行，将 SS 值除以 df 值即可计算出 MS 值。

F 比值

每个F比值是通过将一个均方值除以另一个均方值计算得出的。分母的均方值依赖于实验设计。

对于无重复测量的双因素方差分析：分母的 MS 值始终是残差均方 (MSresidual)。

对于单因子含重复测量的双因素方差分析（参见Maxwell和Delaney第596页）：

•对于交互作用，分母的 MS 值为残差均方 (MSresidual)

•对于非重复测量因子，分母的MS值为MSsubjects

•对于采用重复测量设计的因子，分母的MS值为MSresidual

对于两个因素均为重复测量方差分析（参见Maxwell和Delaney第577页）：分母的MS值是待测因素与受试者之间交互作用的MS值。

•对于行因素，分母MS是行因素与受试者的交互作用MS

•对于列因子，分母MS对应列因子与受试者的交互作用

•对于交互作用：行因素 × 列因子，分母MS对应残差（也称为行 × 列 × 受试者的交互作用）

P值

每个 F 比值都是两个方差值的比值。这两个方差值各自对应不同的自由度。因此，F 比值的分子和分母分别对应不同的自由度。Prism 通常以如下形式报告该结果：F (1, 4) = 273.9

利用 F 值和两个自由度计算 P 值，可使用免费的在线计算器，或使用 Excel 公式 =FDIST(F, dfn, dfd)

 

 

1. SE Maxwell 和 HD Delaney. 《实验设计与数据分析：模型比较视角》（第二版）. Routledge, 2003.