示例数据集
为了创建本示例，我输入了一组数据，该数据包含两行、三列，且每个单元格中并列三个重复值。由于没有缺失值，因此总共输入了18个数值。
我对数据进行了四种分析：假设无重复测量、假设重复测量且配对值堆叠、假设重复测量且配对值分布于一行，以及双向重复测量。下表采用颜色编码来解释这些设计。表中每种颜色代表一名受试者。不同表格间的颜色可能重复，但这并不代表任何特定含义。
方差分析（ANOVA）表
下表展示了这四种分析的方差分析（ANOVA）结果。下文中的数值均由 Prism 软件生成。我对其进行了部分重新排列和重命名，以便将四组结果整合到一张表格中。
首先关注没有重复测量的“平方和”（SS）列：
•第一行显示了行与列的交互作用。它量化了因各列中行间差异不尽相同而产生的变异量。等效地，它量化了因两行中列间差异不尽相同而产生的变异量。
•第二行显示了由两行之间的系统性差异所导致的变异量。
•第三行显示了由两行之间的系统性差异所导致的变异量。
•倒数第二行显示了其他行均无法解释的残差变异。这被称为残差或误差。
•最后一行显示了全部 18 个值之间的总变异量。
现在请看针对同一数据但基于不同重复测量假设所进行的分析中的“SS”列。
•总方差（SS）保持不变。这合乎逻辑，因为它衡量的是这18个值之间的总变异量。
•在所有四种分析中，交互作用以及行和列的系统效应（前三行）的SS值均相同。
•当假设重复测量时，残差变异的SS值会变小，因为其中一部分变异可归因于受试者间的变异。在最后几列中，其中一部分变异也可归因于受试者与行或列之间的交互作用。
现在来看自由度（DF）的数值。
•总自由度（DF）（最底一行）为17。这是总值个数（18）减去1。无论是否假设重复测量，该数值均保持不变。
•交互作用的自由度等于（列数 - 1）×（行数 - 1），因此本示例中为 2 × 1 = 2。无论是否采用重复测量假设，该值均保持不变。
•行间系统性差异的自由度等于行数减1，本示例中即为1。无论是否存在重复测量，该值均保持不变。
•列间系统性差异的自由度等于列数减1，本示例中为2。无论是否存在重复测量，该值均保持不变。
•受试者的自由度等于受试者人数减去处理方式数量。当配对数据被堆叠时，共有9名受试者和3种处理方式，因此自由度为6。 当配对值位于同一行时，有 6 个受试者接受了两种处理（每行一种），因此自由度为 4。当两个因素均存在重复测量时，该值等于受试者数（3）减去 1，因此自由度为 2。
关于SS和DF的计算细节，可参见Maxwell和Delaney（1）的著作。第576页的表12.2解释了两个因素均存在重复测量方差分析（ANOVA）表格。但请注意，他们使用术语“A x B x S”，而Prism软件中显示为“残差”。 第595页的表12.16解释了单因子具有重复测量方差分析（双向方差分析）表格。他们使用“B × S/A”表示，而Prism软件显示为“残差”；他们使用“S/A”表示，而Prism软件显示为“受试者”。
均方
每个均方值是通过将平方和除以相应的自由度来计算的。换言之，对于方差分析表中的每一行，将平方和（SS）除以自由度（df）即可计算出均方（MS）值。
F比值
每个F比值是通过将一个均方值除以另一个均方值计算得出的。分母的均方值依赖于实验设计。
对于无重复测量的双向方差分析：分母的均方值始终为残差均方（MSresidual）。
对于一个因子具有重复测量方差分析的双向方差分析（参见Maxwell和Delaney第596页）：
•对于交互作用，分母的MS值为MSresidual
•对于非重复测量的因子，分母的MS值为MSsubjects
•对于采用重复测量设计的因子，分母的MS值为残差均方（MSresidual）
对于两个因子均为重复测量的情况下的双向方差分析（参见Maxwell和Delaney第577页）：分母的MS值是待测因子与受试者之间交互作用的MS值。
•对于行因素，分母MS是行因素与受试者的交互作用的MS
•对于列因子，分母MS对应列因子与受试者的交互作用对于交互作用：行因子 × 列因子，分母MS对应残差（也称为行 × 列 × 受试者的交互作用）
•对于交互作用：行因素 × 列因子，分母MS对应残差（也称为行 × 列 × 受试者的交互作用）
P值
每个 F 比值都是两个均方值的比值。这两个均方值各自对应不同的自由度。因此，F 比值的分子和分母分别对应不同的自由度。Prism 通常以如下形式报告该结果：F (1, 4) = 273.9
利用 F 值和两个自由度计算 P 值，可使用免费的在线计算器，或使用 Excel 公式 =FDIST(F, dfn, dfd)
1. S.E. Maxwell 和 H.D. Delaney. 《实验设计与数据分析：模型比较视角》（第二版）。Routledge 出版社，2003 年。
