主成分回归（PCR）是主成分分析（PCA）与多元线性回归（MLR）的结合。通常，通过PCA进行降维的目标正是PCR，而Prism软件允许用户在PCA的选项中执行PCR。当选择将PCR作为PCA的一部分执行时，PCA的结果中除了原有的PCA结果外，还会额外包含一个回归结果标签页。

简而言之，先运行PCA并选取若干主成分，然后将这些选定主成分的得分作为自变量（预测变量）进行MLR分析。您选定的另一个变量（未包含在PCA中）则作为因变量（结果变量）。

Prism 会在后台执行额外一步操作。它不会以主成分得分的量纲报告回归系数，而是将回归系数转换回原始输入变量的量纲。

请注意，在下图显示的PCR结果中，回归模型使用了两个自由度，因为仅选取了两个主成分作为独立变量。但请注意，系数是针对全部九个独立变量加上截距显示的。这看似令人费解，但正是PCR的核心所在。本质上，MLR是基于投影到更低维度的数据进行拟合的（这听起来可能很玄妙，具体解释详见此处）。

除了使用主成分得分拟合多重线性回归（MLR）外，系数、标准误差和置信区间的解读与多重线性回归（MLR）完全一致。例如，模型为

估计响应 = β0 + β1*X1 + β2*X2 + β3*X3 + ...

请查阅关于多元线性回归的补充页面，以了解如何解读方差分析表、P值和R²。

主成分是PCR的预测变量，而非原始变量

需注意一个特殊情况。首先，我们将数据点的总数（数据表中的完整行数）记为“N”。此外，我们将选定的主成分（预测变量）的数量记为“k”。

方差分析表中的总自由度定义为 N-1。为何要减去 1？因为截距项已被拟合。回归的自由度定义为 k，残差的自由度定义为 N-k-1。简单验证可知，回归自由度与残差自由度的和等于总自由度：

dfreg + dfres = k + (N-k-1) = N - 1 = dftotal

在“拟合优度”部分，自由度定义为分析的总行数（N）减去参数数。参数数与预测因子数不同，因为该模型包含截距项。这意味着参数总数等于预测因子数加1，即 k+1。因此，要计算“拟合优度”部分的自由度，最终公式为：

dfgof = N - (k+1) = N - k - 1

本示例包含569行数据，结果表显示了10个参数的估计值（9个自变量加上截距项）。然而，回归部分仅有2个自由度，残差部分则有566个自由度。这是因为回归模型实际上仅将两个主成分视为自变量（或独立变量）。 因此，自由度计算为 569 - 3 = 566（3 是因为模型拟合了两个主成分加上截距）。这就是 PCR 的“魔力”。PCA 过程将独立变量的数量减少到较少的主成分数量（且不会丢失太多信息），从而为分析“提供了”更多的自由度。

PCR 数据摘要

与PCA表格结果的数据摘要类似，PCR结果也包含一个“数据摘要”部分。该部分提供了原始变量数量、主成分选择方法、所选成分数量（用作PCR的预测变量）以及数据表中的行数等信息。 虽然这些数值在PCA和PCR的数据摘要中是相同的，但需要注意的是，最后两行关于“跳过行数（缺失数据）”和“分析行数（案例数）”的信息在PCR中可能与PCA不同。

请注意，要执行PCR，必须从输入数据表中选择一个变量作为回归的因变量（结果变量），且该变量不能作为PCA的自变量。随后，对所选变量执行PCA。如果这些变量中存在缺失值（或被排除），PCA计算过程中将跳过这些行。 随后，将使用计算出的主成分（PCs）和指定的响应（结果、因变量）变量进行PCR。对于PCR，Prism会检查定义主成分的变量或响应变量中是否存在缺失值（或被排除），并跳过这些变量中任何一个存在缺失值的行。

为确保这一点极其清晰，这里提供另一种思考方式。作为PCA一部分生成的主成分，是利用指定输入变量中所有可能的数据（不包括因变量）来定义的。随后，这些主成分将用于与指定因变量的回归分析。如果某行有缺失值，该行将被排除在回归分析之外，但该行上的其他值仍参与确定主成分的值。

总结：

•在PCA中因缺失值（或被排除）而被跳过的行，在基于同一数据的PCR中也会被排除

•在指定响应变量中存在缺失（或被排除）值的行，仅会在 PCR 中被排除。如果某行仅缺少响应变量的值，但其他所有输入变量均有值，则该行将用于 PCA，但在 PCR 中会被跳过

•因此，对于同一数据集，PCR中“跳过的行（缺失数据）”的数量可能比PCA更多