主成分回归（PCR）是主成分分析（PCA）与多元线性回归（MLR）的结合。 通常，通过PCA进行降维的目标正是PCR，而Prism软件允许将PCR作为PCA选项的一部分来执行。当选择将PCR作为PCA的一部分执行时，PCA结果中除原有结果外，还将额外包含一个“回归结果”选项卡。

简而言之，先运行PCA，选择若干主成分，然后将所选的主成分得分作为自变量（预测变量）运行MLR。您选择的另一个变量（未包含在PCA中）则作为因变量（结果变量）。

Prism 会在后台执行另一个步骤。它不会以主成分得分的量表报告回归系数，而是将回归系数转换回原始输入变量的量表。

请注意，在下文显示的PCR结果中，回归模型使用了两个自由度，因为仅选取了两个主成分作为独立变量。  但请注意，结果中显示了所有九个独立变量以及截距的系数。这看似令人费解，却正是 PCR 的精髓所在。本质上，多重线性回归（MLR）是基于投影到较少维度的数据进行拟合的（这听起来可能很玄妙，具体解释详见此处）。

除了使用主成分得分拟合MLR外，系数、标准误差和置信区间的解读与MLR完全相同。例如，该模型为

估计的因变量 = β0 + β1*X1 + β2*X2 + β3*X3 + ...

请参阅关于多元线性回归的其他页面，了解如何解读方差分析表、P值和R²。

主成分是PCR的预测变量，而非原始变量

需要注意一个特殊情况。首先，我们将数据点的总数（数据表中的完整行数）称为“N”。此外，我们将选定的主成分（预测变量）的数量称为“k”。

方差分析表中的总自由度定义为 N-1。为什么减去 1？因为截距已被拟合。 回归的自由度定义为 k，残差的自由度定义为 N-k-1。简单验证可知，回归自由度与残差自由度的和等于总自由度：

dfreg + dfres = k + (N-k-1) = N - 1 = dftotal

在“拟合优度”部分，自由度定义为分析的总行数（N）减去参数个数。 参数数与预测因子数不同，因为该模型包含截距项。这意味着参数总数等于预测因子数加 1，即 k+1。因此，要计算“拟合优度”部分中的自由度，最终公式为：

dfgof = N - (k+1) = N - k - 1

本示例包含 569 行数据，结果表显示了 10 个参数（9 个预测因子加上截距）的估计值。然而，回归的自由度仅为 2，残差的自由度为 566。 这是因为回归模型实际上只“识别”了两个主成分作为预测变量（或独立变量）。因此，自由度计算为 569 - 3 = 566（3 是因为它拟合了两个主成分加上截距）。这就是 PCR 的“魔力”。 PCA 过程将独立变量的数量减少到较少的主成分数量（同时不会丢失太多信息），从而为分析“提供了”更多的自由度。

PCR的数据摘要

与PCA表格结果中的数据摘要类似，PCR结果也包含一个“数据摘要”部分。该部分提供了有关原始变量数量、主成分选择方法、所选成分数量（用作PCR的预测因子）以及数据表中行数的信息。 虽然这些数值在PCA和PCR的“数据摘要”中是相同的，但需要注意的是，最后两行关于“跳过行数”（缺失数据）和“分析行数”（案例数）的信息，在PCR中可能与PCA不同。

请注意，要进行PCR，必须从输入数据表中选择一个变量作为回归的因变量（结果变量），且该变量不能作为PCA的自变量。 随后，对所选变量进行PCA分析。如果这些变量中存在缺失值（或被排除），在PCA计算过程中将跳过这些行。 随后，将使用计算出的主成分（PCs）和指定的响应（结果、因变量）变量进行 PCR。对于 PCR，Prism 会检查定义主成分的变量或响应变量中是否存在缺失值（或被排除），并跳过这些变量中任何一个存在缺失值的行。

为确保这一点极其清晰，这里提供另一种思考方式：作为PCA一部分生成的成分，是利用指定输入变量中所有可能的数据（不包括因变量）来定义的。 随后，这些成分将用于与指定因变量的回归分析。如果某行存在缺失值，该行将被排除在回归分析之外，但该行上的其他值仍会参与主成分值的确定。

总结如下：

•在PCA中因缺失值（或被排除）而被跳过的行，在基于同一数据的PCR中也将被排除

•在指定响应变量中存在缺失（或被排除）值的行，仅会在 PCR 中被排除。如果某行仅缺少响应变量的值，但其他所有输入变量均有值，则该行将用于 PCA，但在 PCR 中会被跳过

•因此，对于同一数据集，PCR中“跳过的行（缺失数据）”的数量可能比PCA中更多