常用（十进制）对数

理解对数的最佳方式是通过一个例子。如果将10的3次方（10 × 10 × 10）计算出来，结果是1000。对数就是该幂函数的逆运算。 1000的对数（以10为底）是指使结果等于1000的10的幂。因此，1000的对数是3。如果您将10自乘3次，结果就是1000。

10也可以取负幂。例如，10的-3次方等同于10³的倒数。因此，10⁻³等于1/10³，即0.001。0.001的对数是使结果等于0.001的10的幂，即-3。

您可以计算10的分数次幂。10的1/2次幂等于10的平方根，即3.163。因此，3.163的对数是0.5。

10的0次方等于1，因此1.0的对数是0.0。

您可以对任何正数求对数。介于零和一之间的值的对数为负数；大于一的值的对数为正数。零和所有负数的对数未定义；因为不存在10的幂能等于负数或零。

其他底数的对数

上一节中展示的对数称为十进制对数，因为计算涉及 10 的某次幂。这些也被称为普通对数。

您可以计算任意底数的对数。数学家更倾向于使用自然对数，其底数为 e（约 2.7183…）。尽管名称如此，对大多数科学家而言，使用以 e 为底的对数并不显得自然，他们通常更习惯于十进制对数。

生物学家有时会使用以2为底的对数，却往往浑然不觉。以2为底的对数是指达到某个数值所需的倍增次数。 因此，16的2进制对数是4，因为如果从1开始，将其翻倍四次（2、4、8、16），结果就是16。免疫学家常将抗体按2的倍数进行梯度稀释，因此常采用2进制对数坐标系绘制数据。细胞生物学家则利用2进制对数，将细胞计数转换为细胞倍增次数。

不同底数的对数之间是成比例的。因此，将自然对数转换为常用对数，就像是改变单位一样。将自然对数除以2.303即可计算出该值的常用对数；将常用对数乘以2.303即可得到相应的自然对数。

对数的数学性质

对数将乘法转化为加法，将除法转化为减法，并将幂运算转化为乘法：

log(A·B) = log(A) + log(B)

 

log(A/B) = log(A) - log(B)

 

log(An) = n·log(A)

反对数

反对数（也称为反对数）是对数变换的逆运算。由于1000的对数（以10为底）等于3，因此3的反对数是1000。要计算以10为底的对数的反对数，只需将10提升到该幂次。

要计算自然对数的反对数，需将 e 作为指数。1000 的自然对数是 6.908。因此，6.908 的反对数是 e^(6.908)，即 1000。电子表格和计算机语言使用符号 exp(6.908)。

与“对数”发音相似的术语：logit 和 logistic

“logistic”一词听起来似乎与对数有关。实际上，“logistic”一词有三个不同的含义，并非都涉及对数。  

用于逻辑回归的 logit 函数，是概率 P（取值介于 0.0 与 1.0 之间）的自然对数除以 1-P：  

Logit(P) = ln[P/(1-P)]

对数正态分布是一种其对数值服从高斯分布的概率分布。对数正态分布本身是不对称的，且具有右侧重尾。这种不对称性容易误导人，导致人们错误地将分布尾部的值视为异常值而予以剔除。

“log(x)”这一符号可能存在模糊拟合

在 Prism 的变换和方程中，log() 函数计算的是常用（以 10 为底）对数。

在某些编程语言（例如 JavaScript）中，log(x) 表示自然对数，而非常用对数。Excel 尤其容易造成混淆：在 Excel 工作表函数中，log(X) 表示常用对数；但在 Excel VBA 宏中，log(X) 表示自然对数。

在 Prism 中，“ln(X)” 表示自然对数。

 

请勿将对数与科学记数法混淆

以数值 0.000000001 为例。它可以写成 10⁻⁹。由于计算机程序无法处理下标，因此在大多数计算机程序（包括 GraphPad Prism 和 Excel）中，该数值被输入为 1e⁻⁹。这里的 'e' 表示“乘以 10 的幂”。 请勿将这种科学记数法与对数混淆。0.000000001 的对数是 -9。