普通（十进制）对数

理解对数的最佳方式是通过一个例子。如果将10的3次方（10 × 10 × 10）计算出来，结果是1000。对数就是该幂运算的逆运算。 1000的对数（以10为底）是指使10的幂等于1000的幂次。因此，1000的对数是3。如果将10自乘3次，结果就是1000。

10 可以取负幂。例如，10 的 -3 次幂等同于 10³ 的倒数。因此 10⁻³ 等于 1/10³，即 0.001。 0.001的对数是使10的幂等于0.001的幂，即-3。

您可以计算10的分数幂。10的1/2次方等于10的平方根，即3.163。因此，3.163的对数是0.5。

10的0次幂等于1，因此1.0的对数是0.0。

您可以对任何正数求对数。介于零和一之间的值的对数为负数；大于一的值的对数为正数。零和所有负数的对数未定义；因为不存在使结果为负数或零的10的幂。

其他底数的对数

上一节中展示的对数被称为以10为底的对数，因为计算涉及10的某个幂。这些对数也被称为常用对数。

您可以计算任意幂的对数。数学家更倾向于使用以 e（2.7183…）为底的自然对数。尽管名称如此，但对大多数科学家而言，使用以 e 为底的对数并不“自然”，他们通常更习惯于以 10 为底的对数。

生物学家有时会使用以2为底的对数，却往往浑然不觉。以2为底的对数是指达到某个数值所需的倍增次数。 因此，16 的 2 进制对数是 4，因为如果从 1 开始，将其翻倍四次（2、4、8 和 16），结果就是 16。免疫学家通常将抗体按 2 的倍数进行连续稀释，因此常采用 2 进制对数刻度绘制数据图。 细胞生物学家使用以2为底的对数，将细胞计数转换为倍增次数。

不同底数的对数之间是成比例的。因此，将自然对数转换为常用对数，就像是转换单位一样。将自然对数除以2.303，即可计算出同一值的常用对数；将常用对数乘以2.303，即可得到相应的自然对数。

对数的数学性质

对数将乘法转化为加法，将除法转化为减法，并将幂运算转化为乘法：

log(A·B) = log(A) + log(B)

 

log(A/B) = log(A) - log(B)

 

log(An) = n·log(A)

反对数

反对数（也称为反log）是对数变换的逆运算。由于1000的对数（以10为底）等于3，因此3的反对数是1000。 要计算以10为底的对数的反对数，只需将10提升到该底数次方。

要计算自然对数的反对数，需将该数乘以 e 的该幂。 1000的自然对数是6.980。因此，6.908的反对数是e⁶.⁹⁰⁸，即1000。电子表格和计算机语言中使用符号 exp(6.908) 表示。

与“对数”发音相似的术语：logit 和 logistic

“logistic”一词听起来似乎与对数有关。事实上，“logistic”一词有三个不同的含义，并非都涉及对数。  

用于逻辑回归的 logit 函数，是概率 P（取值范围在 0.0 到 1.0 之间）的自然对数除以 1-P：  

Logit(P) = ln[P/(1-P)]

对数正态分布是一种其对数值服从高斯分布的分布。对数正态分布本身是不对称的，且右侧具有重尾。这种不对称性很容易令人产生误解，从而错误地将分布尾部的值视为异常值而予以剔除。

符号“log(x)”可能存在模糊拟合

在 Prism 的变换和方程中，log() 函数计算的是常用对数（以 10 为底）。

在某些编程语言（例如 JavaScript）中，log(x) 表示自然对数，而非常用对数。Excel 尤其容易造成混淆：在 Excel 工作表函数中，log(X) 表示常用对数；但在 Excel VBA 宏中，log(X) 则表示自然对数。

在 Prism 中，“ln(X)” 表示自然对数。

 

请勿将对数与科学记数法混淆

以数值 0.000000001 为例。它可以写成 10⁻⁹。由于计算机程序无法处理下标，因此在大多数计算机程序（包括 GraphPad Prism 和 Excel）中，该数值被输入为 1e⁻⁹。 这里的“e”表示“乘以10的”。请不要将这种科学记数法与对数混淆。0.000000001的对数是-9。