双向方差分析用于确定两个因素如何影响响应。例如，您可以测量男性和女性对三种不同药物的反应。

变异来源

双向方差分析将各数值间的总变异性分为四个组成部分。Prism 会统计因行因素与列因子交互作用导致的变异性百分比、因行因素导致的变异性百分比，以及因列因子导致的变异性百分比。剩余的变异性来自重复实验（也称为残差变异）。

这些值（占总变异量的百分比）被谢斯金（Sheskin）称为标准欧米茄平方（方程 27.51–27.53），被麦克斯韦和德莱尼（Maxwell and Delaney）称为 R²（第 295 页）。还有人将这些值称为埃塔平方或相关比。

方差分析表

方差分析表将测量值之间的总体变异性（以平方和表示）分解为四个组成部分：

•行与列之间的交互作用。这些是各行之间存在差异但各列不一致的情况，相当于各列之间的变异在各行上也不一致。

•列间变异性。

•行间变异性。

•残差或误差。与行和列之间系统性差异无关的重复间变异。

方差分析表展示了平方和如何被划分为这四个分量。大多数科学家会跳过这些结果，除非您深入学习过统计学，否则这些结果并无特别的参考价值。对于每个分量，该表显示了平方和、自由度、均方以及F比值。 每个F比值都是该变异源的均方值与残差均方之比（在重复测量方差分析中，某个F比值的分母是配对均方，而非残差均方）。 如果零假设成立，F 比值通常接近 1.0；如果零假设不成立，F 比值通常大于 1.0。F 比值本身的信息量并不大，但可用于确定 P 值。

标准效应量

Prism 会为方差分析（ANOVA）结果报告标准效应量，包括η²、偏η²（ηp²）和科恩的f值。由于这些效应量适用于多种方差分析设计（单向方差分析、双向方差分析、三向方差分析及多因素方差分析； 普通设计和重复测量设计），关于这些效应量如何计算和解读的详细信息，请参阅专门的“理解方差分析效应量”页面。

P 值

双向方差分析将因变量的总体方差划分为三个分量，外加一个残差（或误差）项。因此，它计算的 P 值用于检验三个零假设（重复测量方差分析还会增加另一个 P 值）。

交互作用P值

零假设认为列（数据集）与行之间不存在交互作用。 更准确地说，零假设指出：各列之间的任何系统性差异在每一行中都相同，而各行之间的任何系统性差异在每一列中也相同。通常，交互作用检验是这三项检验中最重要的一项。如果列代表药物，行代表性别，那么零假设就是：药物之间的差异在男性和女性中是一致的。

P 值回答了以下问题：

如果零假设成立，那么随机抽样受试者后，最终观察到的交互作用程度与实际观察到的相当（或更大）的概率是多少？

下图左侧显示不存在交互作用。该治疗对男性和女性的效果大致相同。相比之下，右侧图表显示了巨大的交互作用：该治疗对男性的效果（治疗使浓度升高）与对女性的效果（治疗使浓度降低）截然不同。 在本示例中，治疗效果对男性和女性而言方向相反。但交互作用检验并非检验效果是否方向不同，而是检验每行（本示例中为每种性别）的平均治疗效果是否相同。

进行交互作用检验时，需要输入重复值或均值与标准差（或标准误）以及样本量（N）。如果每行/列组合仅输入了一个值，Prism 会默认不存在交互作用，并继续进行其他计算。根据您的实验设计，这一假设可能合理，也可能不合理。

如果交互作用检验得出统计学显著的结果，那么从另外两个P值中您可能无法获得任何有价值的信息。在本示例中，统计学显著的交互作用意味着处理效应（处理组与对照组之间的差异）在男性和女性之间存在差异。 在这种情况下，实际上根本无法解读检验“处理完全无效”这一零假设的总体P值。相反，应重点关注多重比较后检验：该效应在男性中是否统计学显著？在女性中又如何？

列因子 P 值

零假设是：在总体中，各列的均值（完全忽略行）是相同的，且我们观察到的列均值之间所有差异均由偶然性造成。在上图所示的示例图表中，对照组和处理组的结果被输入到不同的列中（男性和女性则被输入到不同的行中）。 零假设认为该治疗无效，因此对照组和治疗组的数值差异仅由随机因素造成。P值回答了这个问题：如果零假设成立，随机获得的列均值差异（或更大差异）与观察值相等的概率是多少？

在上图左侧所示的示例中，列因子（处理）的P值为0.0002。这表明处理具有统计学显著效应。

在上图右侧所示的示例中，列因子（处理）的P值非常高（0.54）。平均而言，处理效应与随机变异无法区分。但在本示例中，该P值并无实际意义。 由于交互作用的P值较低，可知处理效应在每一行（本示例中为每种性别）上并不相同。事实上，在本示例中，处理在男性和女性身上产生了相反的效果。因此，询问总体平均处理效应毫无意义。

行因素 P 值

零假设是：在总体中，每行（完全忽略列）的均值是相同的，且我们观察到的行均值之间所有差异均由随机因素造成。 在上例中，行代表性别，因此零假设是男性和女性的平均反应相同。P值回答了这个问题：如果零假设成立，随机获得的行均值差异（或更大差异）与观察到的差异相等或更大的概率是多少？

在上述两个示例中，行因素（性别）的P值都非常低。

数据汇总表

结果表中的这一小节总结了以下内容：

•列数（列因子）

•行数（行因素）

•值的个数

请注意，若通过“因子名称”选项卡为列因子和行因素输入描述性名称，则“数据汇总表”中将显示所输入的描述性名称。此功能是在 Prism 8.2 版本中针对普通双向方差分析新增的。

多重比较检验

请注意，双向方差分析得出的三个 P 值并未针对这三组比较进行校正。虽然这样做似乎合乎逻辑，但在方差分析中传统上（甚至从未？）进行过此类校正。

多重比较检验是统计学中最令人困惑的主题之一。由于Prism为单向方差分析和双向方差分析提供了几乎相同的多重比较检验方法，因此我们已将相关信息整合在一起。

参考文献

David J. Sheskin. 《参数与非参数统计方法手册：第三版》ISBN：1584884401。