稳健回归的必要性

非线性回归与线性回归一样，都假设数据点围绕理想曲线的散布服从高斯分布或正态分布。这一假设导致了回归分析中众所周知的目标：使数据点与曲线之间垂直距离（即 Y 值距离）的平方和最小化。这种进行非线性（或线性）回归的标准方法被称为最小二乘回归。

实验误差可能导致数值严重偏高或偏低的错误值 - 即异常值。即使仅有一个异常值，也可能主导平方和的计算，从而导致误导性的结果。应对这一问题的一种方法是采用对高斯假设违背不敏感的稳健拟合方法。 另一种方法是利用自动异常值剔除功能来识别并移除异常值，随后再进行最小二乘回归。Prism 提供了这两种选择。其异常值识别方法实际上首先进行稳健拟合，从而建立一个基准线，据此判断某点是否偏离该基准线过远，进而将其定义为异常值。随后，在移除这些异常值后，它会对剩余数据点进行标准的最小二乘拟合。

稳健回归的工作原理

基于《数值计算方法》(1) 中的建议，我们的稳健拟合方法基于以下假设：曲线周围的变异服从洛伦兹分布，而非高斯分布。这两种分布都属于 t 分布族：

图中分布最宽的，即自由度为1的t分布，也被称为洛伦兹分布或柯西分布。洛伦兹分布具有宽尾，因此异常值相当常见，因而对拟合影响甚微。

我们对Marquardt非线性回归算法进行了调整，以适应残差服从洛伦兹分布（而非高斯分布）的假设，具体细节详见参考文献2。

何时选择稳健非线性回归是合理的？

在 Prism 中，稳健回归的主要用途是作为去除异常值的“基准”。您可以尝试使用稳健回归，以便更好地理解异常值去除方法（该方法以稳健回归为起点）。如果您的唯一目标是根据标准曲线进行插值，且该标准曲线中存在一个或多个异常值，您可能会发现稳健回归很有用。

我们建议您在多数情况下避免使用稳健回归（至少是 Prism 实现的版本），因为它存在以下缺点：

•稳健回归无法计算参数的标准误差或置信区间。

•稳健回归无法绘制置信带或预测区间。

•稳健回归无法计算参数之间的相互关联程度。它无法计算协方差矩阵或依赖度。

•稳健回归无法比较两个模型或两个数据集的拟合效果。

在多数情况下，无法比较模型并不重要。但无法提供诊断信息（标准误、置信区间、协方差矩阵、依赖度、置信带和预测带）这一缺陷，严重限制了稳健回归在多数研究中的实用性。

 

参考文献                                                                         

1.Press WH, Teukolsky SA, Vettering WT, Flannery BP: 《C语言数值计算教程：科学计算的艺术》。纽约州纽约市：剑桥大学出版社；1988年。

2.Motulsky HM 和 Brown RE，使用非线性回归拟合数据时检测异常值 - 基于稳健非线性回归和错误发现率的新方法，《BMC生物信息学》2006, 7:123。下载PDF版本。