对稳健回归的需求

非线性回归与线性回归一样，都假设数据在理想曲线周围的散布服从高斯分布或正态分布。这一假设导致了回归的常见目标：使各点与曲线之间的垂直距离（即Y值距离）的平方和最小化。 这种进行线性和非线性回归的标准方法被称为最小二乘回归。

实验误差可能会导致数值严重偏高或偏低的错误值——即异常值。即使只有一个异常值，也可能主导平方和的计算，从而导致误导性的结果。应对这一问题的一种方法是采用对高斯假设违背不敏感的方法，进行稳健拟合。 另一种方法是使用自动异常值剔除功能来识别并移除异常值，然后进行最小二乘回归。Prism 提供了这两种选择。 异常值识别方法实际上首先进行稳健拟合，从而获得一个基准线，据此判断某一点是否偏离该基准线过远，进而将其定义为异常值。随后，在移除这些异常值后，它会对剩余数据点进行标准的最小二乘拟合。

鲁棒回归的工作原理

根据《数值食谱》(1) 中的建议，我们基于以下假设构建了稳健拟合方法：曲线周围的变异服从洛伦兹分布，而非高斯分布。这两种分布都属于 t 分布族：

图中分布最宽的，即自由度 df=1 的 t 分布，也被称为洛伦兹分布或柯西分布。洛伦兹分布具有宽尾特性，因此异常值相当常见，因而对拟合结果的影响较小。

我们对马夸特（Marquardt）非线性回归算法进行了调整，以适应残差服从洛伦兹分布（而非高斯分布）的假设，具体细节详见参考文献2。

何时选择鲁棒非线性回归才是合理的？

在 Prism 中，稳健回归的主要用途是作为去除异常值的“基准”。您可以尝试使用稳健回归，以便更好地理解异常值去除方法（该方法以稳健回归为起点）。 如果您的唯一目标是根据标准曲线进行插值，且该标准曲线中包含一个或多个异常值，您可能会发现它很有用。

我们建议您在大多数情况下避免使用鲁棒回归（至少是 Prism 实现的版本），因为它存在以下缺点：

•稳健回归无法计算参数的标准误差或置信区间。

•稳健回归无法绘制置信带或预测带。

•稳健回归无法计算参数之间的相互关联程度。它无法计算协方差矩阵或依赖度值。

•稳健回归无法比较两个模型或两个数据集的拟合效果。

在大多数情况下，无法比较模型并不重要。但无法提供诊断信息（标准误、置信区间、协方差矩阵、依赖度、置信带和预测带）这一缺陷，严重限制了鲁棒回归在大多数研究中的实用性。

 

参考文献                                                                         

1.Press WH, Teukolsky SA, Vettering WT, Flannery BP: 《C语言数值配方：科学计算的艺术》。纽约州纽约市：剑桥大学出版社；1988年。

2.Motulsky HM 和 Brown RE，《使用非线性回归拟合数据时检测异常值——一种基于稳健非线性回归和错误发现率的全新方法》，《BMC生物信息学》2006，7:123。下载PDF版本。