置信带与预测带的区别

请注意置信带与预测带之间的区别：

•95%置信区间包围的区域，是您有95%的把握包含真实曲线的区域。如果数据点较多，置信区间将紧邻直线或曲线，而大部分数据将位于置信区间之外。

•95%预测带包围的区域，是预计能包含95%未来数据点的区域。它们比置信带更宽——当数据集较大时，会宽得多。

此外，还需区分参数的95%置信区间（一组数值范围）与围绕曲线的95%置信带。

置信带和预测带的计算方法

置信带和预测带的计算方法相当标准，且只能用矩阵来表示。以下是简要说明。更多详细信息可参见此处。

首先，定义 G|x，即在特定 X 值下，利用所有控制数据计算出的参数梯度。 结果是一个向量，每个参数对应一个元素。对于每个参数，其定义为 dY/dP，其中 Y 是在给定特定 X 值及所有控制数据条件下曲线的 Y 值，P 则是其中一个参数。

G'|x 是该梯度向量的转置，因此它是一列值而非一行值。

Cov 是协方差矩阵（来自上一次迭代的逆海森矩阵）。它是一个方阵，其行数和列数均等于参数的个数。矩阵中的每一项都是两个参数之间的协方差。 请注意，这是实际的协方差矩阵，与 Prism 可能报告的归一化协方差矩阵（其中每个值介于 -1 到 1 之间）不同。

现在计算 c = G|x * Cov * G'|x。对于 X 的任何值，结果均为一个数值。

置信带和预测带以最佳拟合曲线为中心，并向曲线上下等距延伸。

置信带在曲线上方和下方延伸的距离为：

= √(c) * √(SS/DF) * CriticalT(置信区间%, DF)

预测带在曲线上方和下方延伸的距离更大，其值等于：

= √(c+1) * √(SS/DF) * CriticalT(置信区间%, DF)

在这两个方程中，c 的值（定义如上）依赖于 X 的值，因此置信带和预测带与曲线的距离并非恒定。SS 的值是拟合的平方和，DF 是自由度（数据点数减去参数数）。 临界T值是基于所需置信水平和自由度计算出的t分布常数。对于95%置信区间且自由度较大的情况，该值接近1.96。若自由度较小，则该值会更高。