剖面似然不对称置信区间的核心思想

在 Prism 7 之前，Prism 仅报告渐近置信区间，这些区间总是以控制数据为对称中心。

对于某些模型中的某些参数，不对称区间更能准确地反映其精度。Prism（从第7版开始）通过剖面似然置信区间提供了这一功能，用户可在非线性回归对话框的“置信度”选项卡中进行选择。其缺点在于：许多用户对此不熟悉，且计算时间较长（但若使用高性能计算机，除非处理海量数据集并选择自定义方程，否则您可能甚至不会察觉到这一差异）。

其原理相当简单。额外的平方和检验用于比较两个模型。  

•复杂模型即您所选的模型。结果页面的全部内容均针对该模型。

•简单模型将一个参数固定为常数值。其思路是将该参数固定为不同值，直至找到置信限（如下文所述）。

以下是一个高度简化的算法，大致解释了该方法背后的原理。设平方和为 SS，自由度为 DF。

1.将变量 Delta 设为要计算置信区间（CI）的该参数的标准误差（SE）（然后对其他参数重复此操作）。

2.将该参数固定为控制数据减去 Delta，并再次运行拟合，同时让所有其他参数值变化。记录此次拟合的新 SS 和 DF。

3.使用额外平方和F检验，将原始最佳拟合结果与本次强制参数减小 Delta 值的拟合结果进行比较。第二次拟合将一个参数固定为常数，因此拟合的参数少一个，自由度相应增加一个。计算 P 值。

a.若 P 值小于 0.05，则 delta 过大。将其减小并返回步骤 2。

b.若 P 值大于 0.05，则 delta 过小。将其增大并返回步骤 2。

c.若 P 值非常接近 0.05，则下限置信限等于原始控制数据减去当前 delta 值。

4.将该参数固定为控制数据加上 delta，再次运行拟合，同时让所有其他参数值变化。记录此次拟合的平方和 (SS) 和自由度 (DF)。

5.使用额外平方和F检验，将原始最佳拟合结果与该强制参数增加 delta 的拟合结果进行比较。计算 P 值。

a.若 P 值小于 0.05，则 delta 过大。将其减小并返回步骤 4。

b.若 P 值大于 0.05，则 delta 过小。将其增大并返回步骤 4。

c.若 P 值非常接近 0.05，则上置信限等于原始控制数据加上 delta 的当前值。

6. 对每个参数重复上述步骤。

这将为参数生成一个 100*(1-α)% 的置信区间（在常见的 α=0.05 情况下，即 95% 置信区间）。若要检验“真实参数值等于其控制数据值”这一零假设，对于该置信区间内的任何参数值，该零假设均不会被拒绝。

更正式地表述如下：设 θbf 为参数的控制数据，θhyp 为参数的一个假设的不同值。在 α 显著性水平下，若 θhyp 位于置信区间内，则 θbf = θhyp 的零假设不会被拒绝；若 θhyp 位于置信区间外，则该零假设会被拒绝。

Prism 如何计算剖面似然置信区间

Prism 实际上针对每个参数都采用了 Venzon 和 Moolgavkar(1) 所详述的步骤。该方法为每个参数生成一个剖面似然曲线。对于参数的各种可能取值，算法会拟合曲线（同时优化其他参数），并确定数据来自该模型的似然度。置信区间即为似然度值未显著低于其最大值的参数值范围。 当然，“过低”这一概念有严格的定义。

最大似然值位于参数的控制数据处。当在文献中绘制这些分布曲线时，通常绘制的是似然值的负对数。最大似然值等同于 -log(似然值) 的最小值，因此在这类图表中，最佳拟合值即为 Y 值最低时的 X 值。

若假设所有残差服从高斯分布，则最大化似然函数等同于最小化残差平方和。

注释

• 用于计算上置信限的最终 delta 值可能不等于（甚至远小于）用于计算下限的最终 delta 值。这就是为什么置信区间可能在控制数据周围呈现不对称分布。

•上文提到的 0.05 的 P 值目标仅适用于需要 95% 置信区间的情况。若需 99% 置信区间，则使用 0.01，依此类推。

•参考文献1中（Prism软件采用的）方法比上述描述的要巧妙得多，因此计算量更少。

•通过此方法计算的置信区间仅针对该单一参数。其原理是每个置信区间有95%的概率包含真实参数值。这95%的概率并不适用于所有置信区间的集合。若认为所有置信区间包含各自真实参数值的概率为95%，这种说法是不正确的。

•在计算上述额外平方和F检验时，请注意两个模型的自由度相差一个。这是因为我们固定了一个参数，并让Prism拟合其余参数。 某些文献(2)假设您固定了所有参数，而不仅仅是一个。因此，纳入F检验的两个模型在自由度上相差K，其中K是拟合的参数个数。这些置信区间较宽，我认为其意图是让95%的置信水平同时适用于所有置信区间，而非仅适用于其中一个。Prism并未采用这种方法。在Prism中，被比较的两个模型在自由度上始终相差一个。

•我们采用的方法也由 Watts(3) 描述过。Prism 软件对表 III 中的数据所得到的结果，与他在表 IV 中呈现的结果一致。

•在某些情况下，该方法无法确定其中一个置信限，此时会报告“???”而非具体数值。

参考文献

1.Venzon DJ, Moolgavkar SH. 一种基于剖面似然度的置信区间计算方法。《应用统计学》. 1988;37(1):87.

2.Kemmer, G., & Keller, S. (2010). Excel 电子表格中的非线性最小二乘数据拟合。《自然协议》，5(2)，267–281。http://doi.org/10.1038/nprot.2009.182

3.Watts, D.G. (2010) 非线性模型的参数估计，见 M. Johnson 编著《计算机数值方法精要》第 2 章，Academic Press 2010.