相对权重（按1/Y²加权）

在许多实验情境中，当Y值较高时，您通常会预期各点到曲线的平均距离（或者更准确地说，距离的平均绝对值）会更大。 换言之，当Y值较高时，残差（点与曲线的距离）的标准偏差会变大——即标准偏差与Y值成正比。再换一种说法，即您期望变异系数保持恒定，但标准偏差并非恒定。

如果残差的标准差与 Y 的值相关，那么 Y 值较大的数据点往往会离曲线更远（残差更大）。因此，这些数据点对平方和的贡献更大，从而在计算中占据主导地位。

解决方法不是最小化平方和，而是最小化加权平方和。换言之，即最小化数据中 Y 值（Ydata）与曲线 Y 值（Ycurve）之间的相对距离。当选择相对权重时，非线性回归会最小化以下量：

左侧部分最易理解。对于每个数据点，计算它与曲线在 Y 方向上的距离，将该值除以曲线的 Y 值，然后将该比值平方。 将所有数据点的该平方比值相加。右侧表达式与此等价。它分别将分子和分母平方，然后计算这两个平方值的比值。这是大多数数学统计学家对加权问题的理解方式，因此相对权重也被称为按 Y² 加权。

泊松加权

1/Y加权是最小化实际距离平方与最小化相对距离平方之间的折中方案。 1/Y加权适用的一种情况是，当Y值服从泊松分布时。例如，当Y值为放射性计数，且大部分离散性源于计数误差时，即属于这种情况。在泊松分布中，一个值的标准误差等于该值的平方根。 因此，将数据点与曲线之间的距离除以该值的平方根，然后将结果平方。下面的方程展示了Prism所最小化的量，并说明了为何将其称为1/Y加权（但Prism实际上是根据Y的绝对值进行加权的）。

一般加权

下文中的前三个方程展示了绝对加权、泊松加权和相对权重之间的关系。请注意，任何数值的零次幂结果均为 1.0，因此左侧方程的分母始终等于 1.0。

右侧方程展示了通用加权方法。您可以输入 K 值，从而根据数据情况自定义加权方案。通常，K 值应选在 1.0 到 2.0 之间。下文的参考文献 1 采用了这种方法。

如果您想通过实验确定 K 的最佳值，可以按以下步骤操作：

1.沿曲线上的多个点收集大量（超过十几个，甚至可能有几十个）重复测量数据。

2.按常规方式绘制数据图，以确保数据看起来正确。

3.绘制第二张图表，忽略 X 值（时间或浓度等）。 取而代之的是，在这个新图中，X 取自第一个图中每个点重复 Y 值的均方值的对数，而新图中的 Y 则取自重复值之间标准偏差（标准偏差的平方）的对数。 您可以使用自然对数或以10为底的对数。只要两种对数使用相同的底数，具体使用哪种都无所谓。

4.使用线性回归对该图进行直线拟合。由于假设该直线周围的变异服从高斯分布存在疑问，请使用非线性回归并选择稳健拟合。

5.该回归直线的斜率为 K。若 K 接近 0.0，则标准差不随 Y 变化，因此无需加权。 若 K 接近 2.0，则标准偏差与 Y 成正比，此时应采用相对权重。若 K 接近 1.0，则选择泊松加权。若 K 取其他值，请使用通用加权，并将该 K 值作为常数输入。

请注意，如果 Ycurve 为负值，Prism 实际上会将 Ycurve 的绝对值提升到 K 次方。

Prism中很少使用的加权选项

选择按 1/X 或 1/X² 加权时，图表左侧的数据点权重会高于右侧。在某些领域对生物测定数据进行直线拟合时，这种做法很常见。

Prism 还提供按标准偏差平方倒数进行加权的选项。该选项旨在最小化以下表达式：

当您已将数据表格式化为可输入标准差（SD）值，但随后输入的是根据对实验系统中散布（或误差）成因的理解而在其他地方计算出的值时，此方法最为有用。您输入的“SD”值应为经过加权计算的加权因子，而非数据的实际标准差。

如果您在“SD”子列中输入实际标准差，或者输入重复测量值以供 Prism 计算标准差，那么 Prism 将使用这些实际标准差值作为加权因子。这远不如听起来那么有用。 当样本量较小或中等时，标准差会因随机因素而大幅波动，因此不适合将这些随机的标准差值用于加权。加权应基于预测的标准差，而非实际标准差（后者受随机因素影响）。

当然，如果输入的任何标准差值为零，则无法进行基于标准差的加权。此外，如果 Prism 根据重复测量计算标准差，但仅有一个重复测量，或者所有重复测量结果完全相同（即其标准差等于零），同样无法进行加权。

Prism在首次迭代中不进行加权

有一种情况，根据曲线的预测 Y 值进行加权会引发问题——即初始值非常糟糕。初始曲线可能与数据点相距甚远，在某些情况下，某些 X 值对应的 Y 值可能为 0，这使得无法使用 1/Y 或 1/Y² 进行加权。  为了改善拟合效果，即使初始值生成的曲线与数据相距甚远，Prism 在第一次迭代中也不会使用权重。这次迭代会使曲线更接近数据点。 此后，Prism 将使用您指定的加权函数。本质上，它将一次无加权拟合的结果作为加权拟合的初始值。

参考

1. LM Lavasseur、H Faessel、HK SLocum 和 WR Greco，《体外抗增殖试验的统计特征对临床药效学研究的启示》，《药代动力学与药效动力学杂志》，26: 717-733, 1998。