方程的重新参数化不会改变最佳拟合曲线

您希望将 sigmoidal 酶动力学数据拟合到一个标准模型中。但该模型通常有两种形式：

Y=Vmax*X^h/(Khalf^h + X^h)     

Y=Vmax*X^h/(Kprime + X^h)   

这两者是等价的，其中 Kprime 等于 Khalfh，因此两种拟合将生成完全相同的曲线，具有相同的平方和、相同的 R² 值以及相同的自由度。尽管这两个方程表达的是同一个模型，但它们的写法不同。 专业术语称之为“参数化方式不同”。

它们都拟合 Vmax（外推至极高底物浓度时的最大活性）和 h（Hill斜率，描述曲线的陡峭程度）。但一个模型拟合 Khalf（达到最大速率一半所需的浓度），另一个则拟合 Kprime（对底物作用的一种更抽象的度量）。

哪种模型更可取？

在两种模型之间进行选择的一种方法是参照其他教科书和论文，这样您的结果就能轻松地与他人的结果进行比较。另一种方法是选择符合您思维方式的形式。以本示例为例，如果您更倾向于图形化思考，就选择 Khalf；如果您更倾向于机制性思考，就选择 Kprime。

但这种选择不仅仅关乎便利性和惯例。模型的选择会影响置信区间的准确性。请继续阅读以了解原因。

参数的分布并不总是对称的

通过模拟可以确定参数的对称性。我模拟了S型酶动力学，参数设置为Vmax=100、h=5、Kprime=25，并采用标准差为7.5的高斯散布。X值与上图中的数据一致，每个X值对应三个Y值。Prism可以轻松完成此类模拟。 利用 Prism 的蒙特卡洛分析，我重复了 5000 次模拟，将每条曲线分别拟合到两种模型形式中，并将 Kprime 和 Khalf 的控制数据制成表格，同时计算了各自的偏斜度。

Khalf的分布相当对称，呈现高斯分布特征。因此，其偏斜度接近于零。相比之下，Kprime的分布则相当偏斜。 需要注意的是，部分模拟数据集的 Kprime 控制数据大于 100。其偏斜度值（4.89）证实了肉眼观察即可得出的结论——该分布远非对称。

对称渐近置信区间的覆盖范围

GraphPad Prism 的早期版本，与几乎所有非线性回归程序一样，在计算最佳拟合参数的置信区间时，会使该区间以控制数据为中心呈对称分布。如果参数的不确定性确实是对称的，那么这些置信区间可以直接按其表面含义进行解读。 如果不确定性不对称，则置信区间将不准确。

理想情况下，置信区间应易于解读。95% 置信区间有 95% 的概率包含参数的真实值，有 5% 的概率不包含该值。在分析真实数据时，我们永远无法得知真实参数的值，因此也无法确定置信区间是否包含该值。 但在模拟数据时，我们知道参数的真实值，因此可以量化置信区间的覆盖情况。我设置了上述相同的模拟实验，将每个数据集分别拟合到两个方程中，并统计了每个置信区间是否包含真实参数值。 下表显示了在5,000次模拟中，置信区间未包含真实参数值的比例（Kprime为25次，Khalf为1.9037次）。

这些结果表明，Khalf 的表现良好，这与其对称性相符（见上文）。根据预期，95% 置信区间在 5.0% 的模拟中会偏离真实值。实际上，这种情况发生的概率为 5.1%。 同样，99%置信区间预计在1.0%的模拟中会漏算真实值，而实际情况也确实如此。相比之下，Kprime的表现较差。计算出的95%置信区间宽度不足，因此在8.8%的模拟中漏算了真实值。 99%置信区间同样因宽度不足，在4.8%的模拟中未能包含实际值。因此，那些被计算为99%置信区间的结果，实际上仅相当于95%置信区间。

这些模拟结果表明，选择与Khalf拟合的方程优于选择与Kprime拟合的方程。Khalf的分布是对称的，因此根据这些拟合结果计算出的置信区间可以直接按字面意思解读。相比之下，Kprime的分布是不对称的，其置信区间不能直接按字面意思解读。

非对称置信区间的覆盖率

Prism 7 的一项新功能是能够计算非对称置信区间。无论方程如何参数化，这些区间的覆盖率均保持不变。在 10,000 次模拟中，Khalf 的 95% 置信区间仅有 5.3% 的概率未能包含真实值 (25)。 当方程参数化为拟合 Kprime 时，在 10,000 次模拟中，95% 置信区间未能包含真实值（1.9037）的比例为 5.1%。

这证明了使用不对称置信区间的优势。无论您如何对方程进行参数化，都能得到有意义的置信区间。您可以选择那种参数化方式，使其参数既符合您对系统的理解，又便于解释。您无需刻意选择会导致参数分布呈对称性的参数化方式。

霍加德偏斜度

上述结果是通过运行大量模拟得出的。其实还有一种更简单的方法来判断参数的对称程度。霍加德偏斜度（Hougaard’s skewness）可量化每个参数的不对称性，其计算基于方程、数据点数量、X 值的间隔以及参数的数值。

对于该模拟数据集，Khalf 的霍加德偏斜度为 0.09，而 Kprime 的霍加德偏斜度为 1.83。 经验法则是：当霍加德偏斜度值的绝对值大于 0.25 时，应预期会出现因不对称性导致的问题；当该值大于 1.0 时，则会出现严重问题。 因此，Hougaard 偏斜度表明，拟合 Khalf 时置信区间将较为准确，而拟合 Kprime 时则准确性较低。

请注意，霍加德偏斜度可作为非线性回归结果的一部分进行报告（在“诊断”选项卡中选择）。无需进行模拟。

总结

模型通常可以通过多种方式进行参数化。 无论采用哪种方式，您都会得到相同的曲线，但选择最佳参数化方式可确保参数的置信区间具有可信度。评估各种参数化方式的最佳方法是让 Prism 报告每个参数的 Hougaard 偏斜度值。模拟虽然需要多花一点功夫，但能让您了解参数的对称程度。

本示例所用文件：非对称置信区间文件。