峰度

峰度用于量化数据分布的尾部是否符合高斯分布。

•高斯分布的峰度为 0。

•如果某分布的尾部数据值少于高斯分布，则其峰度为负值。

•如果一个分布的尾部值比高斯分布多（或位于更外侧的尾部），则其峰度为正。

•峰度没有单位。

•虽然人们通常认为它衡量的是峰值形状，但实际上，峰度几乎无法反映峰值的形状。其唯一明确的解读是尾部数据值。本质上，它衡量的是异常值的存在（1）。

•Prism 报告的数值有时被称为“超额峰度”，因为高斯分布的预期峰度为 0.0。

•另一种峰度的定义是将 Prism 报告的数值加上 3。根据这一定义，高斯分布的预期峰度应为 3.0。

峰度的计算方法

1.从每个数值中减去样本均值，结果大于均值时为正，小于均值时为负，等于均值时为零。

2.将步骤 1 中计算出的每个差值除以该值的标准偏差。这些比值（即每个值与均值的差除以标准偏差）称为 z 比值。根据定义，这些值的平均值为零，其标准偏差为 1。

3.对于每个数值，计算 z⁴。如果这样表示不够直观，即 z 的四次方。所有这些数值均为正数。

4.计算该数值列表的平均值，方法是将这些值的总和除以 n-1，其中 n 是样本中的数值个数。为什么是 n-1 而不是 n？原因与计算标准偏差时使用 n-1 是一样的。

5.对于高斯分布，该平均值预期为 3。因此，从该平均值中减去 3。高斯分布数据的峰度预期为 0。该值（减去 3 后的结果）有时被称为超峰度。

为什么分布中间的值对峰度影响不大？

因为 z 值要乘以四次方，所以只有较大的 z 值（即远离均值的值）才会对峰度产生显著影响。如果一个值的 z 值为 1，另一个值为 2，那么第二个值对峰度的影响将是前者的 16 倍（因为 2 的四次方等于 16）。 如果一个值的 z 值为 1，另一个 z 值为 3（即距离均值远三倍），那么第二个值对峰度的影响将大 81 倍（因为 3 的四次方等于 81）。 因此，接近均值的数值（尤其是距离均值小于一个标准差的数值）对峰度几乎没有影响，而远离均值的数值则会产生巨大影响。正因如此，峰度并不能量化分布的尖峰程度，也无法真正量化分布形状。相反，峰度量化的是远离均值的点所产生的总体影响。

参考文献

1.Westfall, P. H. (2014). 《作为尖峰度的峰度：1905–2014。安息吧》。《美国统计学家》，68(3)，191–195。