概览

重复测量方差分析（ANOVA）的一个假设被称为球面性或圆度（二者是同义词）。Prism 允许您决定是否接受该假设。如果您选择不接受该假设，Prism 将采用 Geisser 和 Greenhouse 的方法来校正该假设的球形违背情况。

是否应假设球面性？

球形性的定义见下文，但以下是一些关于如何回答 Prism 提出的“是否应假设球形性”这一问题的指导原则：

•如果您的实验设计依赖于配对而非重复测量，则可以假设球形，因为球形违背的可能性很小。

•如果您的实验设计采用重复测量（随时间推移进行多次测量），我们建议您不要假设球面性。我们遵循 Maxwell 和 Delaney(1) 的建议。

球形性的定义

这个名称容易引起混淆。不要试图通过想象球体来直观理解“球形性”这一术语的含义。数学统计学书籍通常通过矩阵代数来定义该术语，这使得它看起来有些晦涩。但实际上，这个概念非常容易理解。

以下是来自 Prism 的样本数据表（选择“列表”，然后选择“重复测量方差分析”的样本数据）。

 

每一行代表由行标题标识的某一位受试者的数据。每一列代表一种不同的处理方式。在本示例中，五位受试者各自接受了四种顺序处理。这些数据将通过重复测量方差分析进行分析。

球形性假设指出：处理 A 与 B 之间差异的方差等于 A 与 C 之间差异的方差，该方差又等于 A 与 D 之间差异的方差，该方差又等于 B 与 D 之间差异的方差……   与所有统计假设一样，该假设涉及数据所抽样的总体，而不仅仅针对这些特定的数据集。

通过图表可以更直观地理解这一点：

左侧图表显示了各组间的差异。六个柱状图分别代表两种处理之间的差异。由于有五名受试者，因此每组差异对应五个数据点。

右侧图表显示了标准偏差。球面性假设指出，数据采样自这些标准偏差完全相同的总体。（大多数统计学书籍讨论的是方差，即标准偏差的平方。如果标准偏差相等，则方差也相等。） 上图右侧面板中的标准偏差并不完全相同。这其实并不重要。该假设针对的是数据所抽样的总体。在任何特定样本中，都存在一定程度的变异。在此例中，标准偏差之间的变异相当小。

您可能会惊讶于非相邻列之间的差异也被纳入考量。A与C之间的差异为何重要？或者A与D之间的差异又为何重要？答案在于，方差分析（ANOVA），甚至是重复测量方差分析，都不关注组别的顺序。 重复测量方差分析将每一行数据视为一组配对数据。但处理顺序根本不会被考虑。如果您将所有受试者的处理顺序随机打乱，方差分析的结果也不会发生丝毫变化（除非您选择进行趋势检验）。

下文的参考文献2和3对球形性给出了清晰且非数学化的解释。

复合对称性

在阅读相关资料时，您还会遇到“复合对称性”这一术语，它基于原始数据的协方差矩阵（无需计算配对差值）。  如果复合对称性假设对某数据集成立，则球形性假设也成立。但反之则不一定成立。即使球形性假设成立，数据也可能违反复合对称性，这种情况虽然可能发生，但较为罕见。

当球形性假设不成立时会发生什么？

当重复测量的时间间隔过短时，会导致球形性假设被违反，因为导致特定数值偏高（或偏低）的随机因素在下次测量前未能消除或消散。为避免违反该假设，应在两次处理之间留出足够长的间隔，确保受试者在处理后与处理前基本处于相同状态。 在可能的情况下，还应随机化处理顺序。

如果球形假设被违反，且在计算中未对此进行调整，则重复测量方差分析报告的P值会过小。换言之，Greenhouse-Geisser修正会增大P值。

量化偏离球形性的程度

Prism 通过计算并报告 ε 值来量化偏离球形性的程度。

看起来 Prism 应该能够根据 ε 值来决定是否对球形违背情况进行校正。但是，不建议使用该值来决定如何分析数据(1)。

不假设球形性的重复测量方差分析

Prism 可以采用 Greenhouse 和 Geisser 的方法，根据 ε 值对重复测量方差分析的结果进行调整。这种调整唯一的作用是减少自由度，从而提高 P 值。

注：

•该方法有时被归功于Box。

•Geisser 和 Greenhouse 还推导出一种下界校正法。该方法计算更为简单，但校正幅度过大。Prism 未采用此方法，而是采用了 Geisser 和 Greenhouse 的 ε-hat 方法。

•Huynh 和 Feldt 开发了一种替代方法，可在不假设球形性的情况下进行重复测量方差分析。Prism 不计算该方法，因为 Maxwell 和 Delaney 更倾向于（略微）采用 Geisser 和 Greenhouse 的方法 (1)。

•该校正通过减少自由度值来实现。这些修正后的值可能是分数形式，Prism 会根据 F 比值和这些修正后的分数自由度来计算 P 值。

•如果您通过混合模型拟合数据，该校正机制同样适用。模型的拟合过程与未进行校正时完全相同。由于自由度被降低，因此根据 F 比值计算出的 P 值会更大。

查看 Prism 结果的打印页面时，如何判断是否假设了球面性？

如果未假设球形性，您会发现 Prism 报告了 Geisser-Greenhouse ε 的值，并且使用分数自由度值来计算 P 值。

参考文献

1. Scott E. Maxwell, Harold D. Delaney, 《实验设计与数据分析：模型比较视角》（第二版）。ISBN：0805837183。

2. Andy Field，《……球形性的“装懂”指南》。

3. T. Baguley，《我的重复测量方差分析输出结果中关于球形性的这些内容到底是什么？》