概览

重复测量方差分析（ANOVA）的一个假设被称为球面性或圆度（二者是同义词）。Prism 允许您决定是否接受该假设。如果您选择不接受该假设，Prism 将采用 Geisser 和 Greenhouse 的方法来校正该假设的球形违背情况。

是否应假设球面性？

球面性的定义见下文，但以下是一些关于如何回答 Prism 是否应假设球面性这一问题的指导原则：

•如果您的实验设计依赖配对而非重复测量，则可以假设球面性，因为球形违背的可能性很小。

•如果您的实验设计采用重复测量（随时间推移进行多次测量），我们建议您不要假设球面性。我们遵循 Maxwell 和 Delaney 的建议(1)。

球面性的定义

这个名称容易让人产生误解。不要试图通过想象球体来推测“球面性”一词的含义。数学统计学书籍通常通过矩阵代数来定义该术语，这使得它看起来有些晦涩。但实际上，这个概念很容易理解。

以下是来自 Prism 的样本数据表（选择“列表”，然后选择“重复测量方差分析”的样本数据）。

 

每行代表由行标题标识的某位受试者的数据。每列代表不同的处理方式。在本示例中，五位受试者各自接受了四种顺序处理。这些数据将通过重复测量方差分析进行分析。

球面性假设指出：处理 A 与 B 之间差异的方差等于 A 与 C 之间差异的方差，该方差又等于 A 与 D 之间差异的方差，该方差又等于 B 与 D 之间差异的方差……与所有统计假设一样，该假设针对的是数据采样的总体，而不仅仅适用于这些特定的数据集。

通过图表更易理解：

左侧图表显示了差异值。六个柱状图分别代表两种处理之间的差异。由于有五名受试者，因此每组差异对应五个数据点。

右侧图表显示了标准偏差。球面性假设指出，数据采样自这些标准偏差完全相同的总体。（大多数统计学书籍讨论的是方差，即标准偏差的平方。如果标准偏差相等，方差也相等。）上图右侧面板中的标准偏差并不完全相同。但这其实并不重要。  该假设针对的是数据采样的总体。在任何特定样本中，都存在一定程度的变异。在此处，各标准偏差之间的变异幅度相当小。

您可能会惊讶于非相邻列之间的差异也被纳入考量。A与C之间的差异为何重要？或者A与D之间呢？答案在于，方差分析（ANOVA），即便是重复测量方差分析，也完全不考虑组别的顺序。重复测量方差分析将每一行数据视为一组配对数据，但处理方案的顺序则完全不被考虑。 如果您将所有受试者的处理顺序随机打乱，方差分析的结果不会有任何改变（除非您选择进行趋势检验）。

下文参考文献2和3对球面性给出了清晰且非数学化的解释。

复合对称性

在阅读相关文献时，您还会遇到“复合对称性”这一术语，它基于原始数据的协方差矩阵（无需计算配对差值）。如果某数据集满足复合对称性的假设，则球面性的假设也成立。但反之则不一定成立。即使在球面性假设成立的情况下，数据也可能违反复合对称性，这种情况虽有可能发生，但较为罕见。

当球面性假设不成立时会发生什么？

当重复测量的时间间隔过短时，球面性假设就会被违反，因为导致特定数值偏高（或偏低）的随机因素在下次测量前无法消散。为避免违反该假设，应在两次处理之间留出足够长的间隔，确保受试者在处理后与处理前基本处于相同状态。在可能的情况下，还应随机化处理顺序。

若球形假设被违反，且在计算中未对此进行调整，则重复测量方差分析报告的P值会过小。换言之，Greenhouse-Geisser修正会增大P值。

量化偏离球面性的程度

Prism 通过计算并报告 ε 值来量化偏离球面性的程度。

看似Prism应能根据ε值决定是否对球形违背情况进行校正。然而，不建议使用该值来决定如何分析数据(1)。

不假设球面性的重复测量方差分析

Prism 可以采用 Greenhouse 和 Geisser 的方法，根据 epsilon 的值调整重复测量方差分析的结果。这种调整唯一的作用是减少自由度，从而提高 P 值。

注：

•该方法有时被归功于Box。

•Geisser 和 Greenhouse 还推导出了一种下限校正法。该方法计算更为简单，但校正幅度过大。Prism 未采用此方法，而是采用了 Geisser 和 Greenhouse 的 ε* 方法。

•Huynh 和 Feldt 开发了一种替代方法，可在不假设球面性的情况下进行重复测量方差分析。Prism 不计算此方法，因为 Maxwell 和 Delaney 更倾向于（略微）采用 Geisser 和 Greenhouse 的方法 (1)。

•该校正通过降低自由度值来实现。这些修正后的值可能是分数形式，Prism 会根据 F 比值和这些修正后的分数自由度来计算 P 值。

•若通过混合模型拟合数据，该校正机制同样适用。模型拟合过程与未启用校正时完全一致。由于自由度被降低，因此根据 F 比值计算出的 P 值会增大。

查看 Prism 结果的打印页面时，如何判断是否假设了球面性？

若未假设球面性，您会发现 Prism 报告了 Geisser-Greenhouse ε 值，且使用分数自由度来计算 P 值。

参考文献

1. Scott E. Maxwell, Harold D. Delaney, 《实验设计与数据分析：模型比较视角》（第二版）。ISBN:0805837183。

2. Andy Field，《关于……球面性的指南》。

3. T. Baguley，《我的重复测量方差分析输出中关于球面性的这些内容究竟是什么？》