关于几何均值的关键事实

•Prism 通过计算所有值的对数，再计算这些对数的平均值，最后取反对数来计算几何均值。

•Prism 使用以 10 为底（十进制）的对数，然后将 10 乘以对数平均值的幂，从而得到几何均值。有些程序使用自然对数，然后通过指数函数进行转换。

•使用对数和反对数等同于将所有数值相乘，再将该积乘以 1/n 次方，其中 n 代表数值个数。您会在某些书籍中看到这种定义。

•如果数据中存在零值或负值，则无法计算几何均值。

•几何均值的单位与数据及算术平均数的单位相同。

•几何均值绝不会大于算术平均值。

•若数据采样自对数正态分布，几何均值可能是表达该分布中心位置的最佳方式。

几何标准差因子

当您请求计算几何均值时，Prism（自 Prism 7 起引入）会报告一个几何标准差因子。它还可以在某些图表上绘制几何均值及其几何标准差因子。

关于几何标准差系数的关键事实：

•“几何标准差”这一术语并不常用，由 Kirkwood (1) 提出。

•几何标准差的计算方法：首先将所有数值转换为对数，计算这些对数值样本的标准差，然后对该标准差求反对数。  

•几何标准差因子没有单位，它是一个无量纲的比值。其值必须大于或等于 1（且仅当所有数据完全相同时才等于 1，这意味着数据对数值的标准偏差为零，因为零的反对数等于 1）。

•您不能将几何标准差加到几何均值（或任何其他数值）上，同样地，从几何均值中减去几何标准差也是毫无意义的。几何标准差是一个您总是用来乘以或除以的数值。这与普通标准差截然不同，后者与数据具有相同的单位，因此可以加到或减去均值。

•若数据采样自对数正态分布，则从（几何均值除以几何标准差因子）到（几何均值乘以几何标准差因子）的区间将包含约三分之二的取值。同样地，当数据采样自高斯分布时，从（均值减去标准差）到（均值加上标准差）的区间将包含约三分之二的取值。  

•很少有文献会展示几何标准差。常见的是将结果报告为“均值为 3.2 ± 1.2（标准差）”。然而，目前很少有报告指出几何均值为 4.3 *? 1.14。我使用了“乘以或除以”符号，而非“正负”符号。

•虽然用“乘以或除以”来表示误差似乎有些奇怪，但这其实并不比“正负”更奇怪。

示例

上图绘制了从对数正态分布中抽取的20个样本值。左侧图表显示，算术均值与几何均值存在显著差异。 中间的图表绘制了几何均值，其误差条是按几何均值乘以或除以几何标准差因子计算得出的。该图表采用了对数Y轴展示了相同的内容。现在分布看起来是对称的，误差条似乎在每个方向上延伸了相同的距离。但在中间和右侧的图表中，误差条的两端位于相同的Y值处。右侧的图表使用了对数轴。

参考文献

1. Kirkwood, TBL (1979). "几何均值与离散度量". 《生物计量学》35: 908–9.