为什么不应使用R²来比较模型

R² 量化了模型对数据的拟合程度，因此乍看之下似乎是比较模型的一种简便方法。这听起来确实很简单——只需选择 R² 值更大的模型即可。但这种方法的问题在于，增加更多参数并不会受到惩罚。 因此，参数更多的模型会通过更复杂的调整来更贴近数据点，因而其R²值几乎总是更高。若将R²作为选择最佳模型的标准，您几乎总是会选中参数最多的那个模型。

调整后的R²考虑了拟合参数的数量

调整后的R²值总是低于R²（除非您只拟合一个参数）。下面的方程说明了原因。

上述方程展示了调整后R²的计算方法。回归直线或曲线残差平方和具有n-K个自由度，其中n是数据点的数量，K是回归拟合的参数个数。 总平方和是所有Y值均值所通过的水平线与各数据点距离的平方之和。由于它只有一个参数（均值），因此自由度等于n-1。

当K=1时，调整后R²与普通R²完全相同。当K>1时，调整后R²小于普通R²。

利用调整后R²值及一种简便粗略的方法比较模型

比较模型的一种快速简便方法似乎是选择调整后R²值较小的模型。建议在“诊断”选项卡中报告该值。

使用调整后 R² 比较模型是比较多元线性回归拟合模型的标准方法。但出于充分的理由，这并非非线性回归的标准做法。Speis 和 Neumeyer(1) 进行的模拟表明，使用调整后 R² 来在竞争模型中进行选择是一种非常糟糕的方法。 我们建议您改用额外平方和F检验或比较AICc值。 如果您确实要通过比较调整后 R² 值来比较模型，请确保所有拟合均使用完全相同且加权方式一致的数据。但即使如此，也请注意：根据 AICc 评估，拟合效果差异显著的模型，其 R² 值可能仅在小数点后第三至第五位数字上有所不同（1）。

线性回归中的调整后R²

Prism 在线性回归中不报告调整后的 R²，但您可以通过非线性回归拟合一条直线。

如果 X 和 Y 之间完全不存在线性关系，则最佳拟合斜率预计为 0.0。如果您分析了许多随机选取的样本，一半样本的斜率将为正，另一半样本的斜率将为负。但在所有这些情况下，R² 值均为正（或为零）。 R² 绝不会为负（除非您对斜率或截距施加约束，迫使拟合效果比水平线更差）。相比之下，调整后的 R² 可能为负。如果您分析了许多随机选取的样本，预计一半样本的调整后 R² 为正，另一半为负。

以下是一种理解二者区别的简便方法。R² 量化了您正在分析的数据样本中的线性关系。即使实际上不存在潜在关系，该样本中也几乎肯定存在某种关系。调整后的 R² 值小于 R²，它是您对潜在总体中关系程度的最佳估计。

1.        Spiess, A.-N. & Neumeyer, N. 《对R²作为药理学和生物化学研究中非线性模型不恰当衡量指标的评估：一种蒙特卡洛方法》。《BMC药理学》10, 6–6 (2010)。