样本的标准差与总体标准差并不相同

根据一组样本值计算标准偏差非常简单。但这个标准偏差有多准确呢？仅仅是偶然，您可能恰好获得了数据分布非常集中的样本，导致标准偏差较低；或者您可能恰好获得了数据分布比总体更为分散的样本，导致标准偏差较高。您的样本标准偏差可能不等于，甚至远低于总体标准偏差。

标准差的95%置信区间

您可以用95%置信区间（CI）来表示任何计算值的精确度。虽然不常这样做，但计算标准差的置信区间确实是可行的。我们将在下一节中进一步讨论置信区间，该节将解释均值的置信区间。而这里我们讨论的是标准差的置信区间，两者有很大不同。

标准差置信区间的解读非常直观。您必须假设数据是从高斯分布中随机且独立抽取的。您根据该单个样本计算出标准偏差及其置信区间，并利用它对整个总体的标准偏差进行推断。您可以有95%的把握认为，该标准偏差的置信区间包含总体的真实标准偏差。

标准差的置信区间有多宽？当然，答案取决于样本量（N），如下表所示。

根据上图所示的五个数值计算出的标准偏差为18.0。但这些数值所抽样的总体真实标准偏差可能截然不同。 由于样本量 N=5，95% 置信区间从 10.8（0.60×18.0）延伸至 51.7（2.87×18.0）。当仅根据五个数值计算标准差时，该标准差的 95% 置信上限几乎是下限的五倍。

大多数人都会惊讶于小样本对标准偏差的估计竟如此不准确。在小数据集上，随机抽样会产生巨大影响，导致计算出的标准偏差与真正的总体标准偏差相差甚远。

请注意，置信区间并非对称的。为什么？由于标准差总是正数，下限不能小于零。这意味着上置信限通常比下限延伸得更远。在小样本中，这种不对称性非常明显。

若您想自行计算这些置信区间，请使用以下 Excel 公式（N 为样本量；α 取值为 0.05 对应 95% 置信水平，0.01 对应 99% 置信水平，依此类推）：

下限：=SD*SQRT((N-1)/CHIINV((alpha/2), N-1))

上界：=SD*SQRT((N-1)/CHIINV((alpha/2), N-1))