如果只是查阅“特征值”或“特征向量”的严格定义，很可能无法得到关于这些值所代表含义的合理解释，除非您深入研究计算它们所需的矩阵代数。相反，让我们回到数据的可视化表示以及为其识别出的第一个主成分：

 

该主成分被表示为以下线性组合：

PC1 = 0.707*(变量 A) + 0.707*(变量 B)

系数——变量 A 的系数为 0.707，变量 B 的系数为 0.707——共同构成了 PC1 的特征向量。通俗地说，这些数值代表了第一个主成分的“方向”，就像斜率指示回归线的方向一样。 从上图中坐标 (0,0) 开始，可以看出该直线的“方向”是沿变量 A 轴向右移动 0.707，沿变量 B 轴向上移动 0.707。 连接这两个点的直线即为 PC1。

进阶说明：特征向量（与所有向量一样）既有方向，也有大小（即长度）。在二维空间中，向量的方向可以通过两个值来定义——向量在第一维方向上的分量，以及向量在第二维方向上的分量。 维度越多，完全描述一个向量所需的数值就越多。在主成分分析（PCA）中，单个特征向量对于每个原始变量都对应一个数值。

为什么特征向量最终会得到这些奇怪的小数值，而不是像 1 和 1 这样更简单的数值呢？这归结于毕达哥拉斯定理。 在前面的示例中，我们已经看到 PC1 是那条通过坐标 (0,0) 和特征向量中的坐标 (0.707, 0.707) 的直线。 如果我们要确定连接这两个点的线段长度（也称为向量的大小），会发现它等于 1！

d = √[(0.707-0)² + (0.707-0)²] = 1

*注意，数值 0.707 是四舍五入后的结果，因此上述方程的计算结果会略有偏差

事实上，这是所有主成分（PC）特征向量都具备的性质。特征向量的长度始终为 1，这可以通过计算特征向量各分量平方和的总和来验证。让我们以上述相同数据为例，观察 PC2：

PC2 = -0.707*(变量 A) + 0.707*(变量 B)

同样地，

d = √[(-0.707)² + (0.707)²] = 1

因此，特征向量指明了每个主成分的方向。那么特征值呢？事实证明，这些数值代表了主成分所解释的方差量。对于针对单个数据集确定的主成分集而言，特征值较大的主成分所解释的方差会比特征值较小的主成分更多。 由此可见，特征值可视为与特征向量方向相伴的主成分长度。请注意，在某些情况下，会使用载荷来描述原始变量与主成分之间的这种关系。本节将进一步探讨载荷的含义及其与特征向量的关系。

继续以本示例为例，PC1和PC2的特征值分别为1.902和0.098。这印证了我们之前所说的：第一个主成分解释的方差最大，而随后的每个主成分解释的总方差则越来越少。 要直接计算这些数值，请考虑我们利用线性组合和标准化数据为 PC1 和 PC2 计算出的“得分”。

若计算“PC1 得分”和“PC2 得分”列的标准偏差，然后将这些值平方（方差 = [标准偏差]²），结果便是……您猜对了：分别是 1.902 和 0.098。

特征值之和与原始变量个数

在继续进行成分选择之前，还有另一个关于特征值的有趣方面需要讨论。即——如果您使用标准化数据进行分析——所有主成分（PC）特征值的总和将等于原始变量的总数。为什么呢？

请记住，对数据进行标准化处理后，每个变量的方差都等于 1。由此推论，数据集中的总方差等于变量的总数。每个主成分“解释”的方差量等于其特征值，但不会改变数据中总体方差的总量。 由于将数据投影到新的主成分上并不会消除任何变异性，因此所有主成分解释的变异性之和必须等于总变异性。因此，特征值之和 = 解释变异性之和 = 总变异性 = 原始变量个数。

在选择主成分子集以实现降维时，这一事实非常有用。